Dört basamaklı bir sayı seçin, herhangi bir dört basamaklı sayı… Tek şart, rakamların aynı olmaması. Şimdi en fazla yedi adımda bir muammaya ulaşacaksınız. Hem de her defasında.

Bu sayıya iyi bakın: 6174.

Ä°lk anda pek bir numarası var gibi durmayabilir, ancak bu sayı 1949’dan bu yana matematikçileri ve matematik meraklılarını büyülemeyi sürdürüyor.

Peki ama neden? Şimdi şu adımları birlikte uygulayalım ve nedenini kendiniz görün:

1. Dört basamaklı bir sayı seçin, en az iki hanesi farklı rakamlardan oluşan herhangi bir sayı. Mesela 1234.
2. Rakamları büyükten küçüğe doğru sıralayın: 4321.
3. Şimdi rakamları küçükten büyüğe doğru sıralayın: 1234.
4. Elde ettiÄŸiniz büyük sayıdan küçük sayıyı çıkarın: 4321 – 1234.
5. Åžimdi elde ettiÄŸiniz son sayıyla 2, 3 ve 4’üncü adımları tekrar uygulayın.

Birlikte hesaplayalım:

• 4321 – 1234 = 3087
• Rakamları büyükten küçüğe doÄŸru sıralayın: 8730
• Rakamları küçükten büyüğe doÄŸru sıralayın: 0378
• Küçük sayıyı büyük sayıdan çıkarın: 8730 – 0378 = 8352
• Åžimdi son üç adımı elde ettiÄŸimiz son sayıyla tekrarlayalım.

Elimizdeki sayı 8352:

• 8532 – 2358 = 6174

Şimdi de aynı adımları 6174 ile tekrarlayalım, rakamları büyükten küçüğe, ardından küçükten büyüğe doğru sıralayıp, büyük sayıdan küçüğü çıkaralım:

• 7641 – 1467 = 6174

Gördüğünüz üzere bu işleme daha fazla devam etmeye gerek yok. Zira bu aşamadan sonra aynı adımları her tekrarladığınızda aynı sonuca ulaşacaksınız: 6174.

Sizce bu sadece bir tesadüf mü? Pekâlâ. O zaman herhangi bir başka sayıyla aynı işlemleri tekrarlayalım: 2005 mesela.

• 5200 – 0025 = 5175
• 7551 – 1557 = 5994
• 9954 – 4599 = 5355
• 5553 – 3555 = 1998
• 9981 – 1899 = 8082
• 8820 – 0288 = 8532
• 8532 – 2358 = 6174
• 7641 – 1467 = 6174

Yani hangi dört basamaklı sayıyı seçerseniz seçin, bu işlemleri tekrarladığınızda önünde sonunda elinize geçecek sayı 6174 olacak. O aşamadan sonra da tüm bu işlemler aynı sayıyı verecek.

Kaprekar sabiti

Tebrikler! Artık siz de Kaprekar sabiti ile tanıştınız.

Hint matematikçi Dattatreya Ramchandra Kaprekar (1905-1986) sayılarla oynamayı seviyordu ve bu oyunları sonucunda 6174 sayısının gizemini keÅŸfetti. Kendisini bir rakam teorisi bağımlısı olarak adlandıran D. R. Kaprekar, 1949 yılında Hindistan’ın Madras kentinde düzenlenen bir matematik konferansında bu keÅŸfini dünyaya açıkladı.

“SarhoÅŸ biri, kafası aynı güzellikte kalsın diye ÅŸarap içmeye devam etmek ister. Sayılar söz konusu olduÄŸunda benim için de aynı durum geçerli,” diyordu. Kaprekar, Mumbai Ãœniversitesi’nde eÄŸitim gördü ve Mumbai’nin kuzeyindeki tepelerde yer alan Devlali kasabasında öğretmenlik yaparak geçimini kazandı.

Kaprekar’ın keÅŸifleri, Hintli matematikçiler tarafından hor görüldü ya da aÅŸağılandı. Bu çalışmaların gereksiz ve ilgisiz olduÄŸunu düşünüyorlardı. Kaprekar ise oralı deÄŸildi. Aynı zamanda üretken bir yazardı ve popüler bilim dergilerinde yazıları yayımlanıyordu.

Kendine has metotları ve rakamlara dair baş döndürücü gözlemleri hakkında konuşmak üzere sık sık konferanslara ya da okullara davet ediliyordu.

Son gülen…

Zaman içinde Kaprekar’ın fikirleri hem Hindistan’da hem de ülke dışında ilgi görmeye baÅŸladı. 1970’li yıllara gelindiÄŸinde, Amerikalı çok satan yazar ve matematik meraklısı Martin Gardner, popüler bilim dergisi Scientific America’da onun hakkında bir makale kaleme aldı.

Bugün Kaprekar ve yaptığı keÅŸiflerin geçerliliÄŸi dünya genelinde tüm matematikçiler tarafından kabul ediliyor. Osaka Ekonomi Ãœniversitesi’nden Profesör Yutaka NiÅŸiyama, “6174 gerçekten esrarengiz bir sayı,” diyor.

Ä°nternet üzerinde yayımlanan +plus dergisindeki yazısında, NiÅŸiyama tüm dört haneli sayıların belli bir dizi iÅŸlemden geçtikten sonra 6174’e ulaşıp ulaÅŸmayacaklarını teyit etmesi için bir bilgisayar programından faydalandığını anlatıyor. Bulguları mı? Tüm dört basamaklı sayılar, rakamların tümü aynı olmadığı müddetçe, Kaprekar iÅŸlemlerinin en fazla yedi adımında 6174 sayısına varıyor.

NiÅŸiyama, “EÄŸer Kaprekar iÅŸlemlerini yedi kez uygulayıp 6174 sayısına ulaÅŸamadıysanız, kesinlikle hesaplamada hata yapmışsınızdır. Dönüp bir kontrol edin,” diyor.

495 de ‘esrarengiz’

Matematik dünyasında bu gibi kaç tane sihirli sayı olduğunu merak ediyor olabilirsiniz. Yanıt, maalesef bilinmiyor.

Ancak bilinen bir şey var ki o da Kaprekar sabitinin üç basamaklı sayılar için de bir benzeri olduğu.

Bakalım. Gelişigüzel bir üç basamaklı sayı seçelim. 574 olsun:

• 754 – 457 = 297
• 972 – 279 = 693
• 963 – 369 = 594
• 954 – 459 = 495
• 954 – 459 = 495

Ve işte burada da sihirli sayımıza ulaştık: 495.

Matematikçiler bu sabitlerin sadece üç ya da dört basamaklı sayılarda olduğunu söylüyorlar. Ancak şimdiye dek sadece iki ila 10 basamaklı sayıları denemişler.

EÄŸlence niyetine matematik

Kaprekar sabiti, sayılarla oyunlar oynamayı en büyük eÄŸlencesi olarak gören D. R. Kaprekar’ın matematiÄŸe tek katkısı deÄŸildi.

Muhtemelen Kaprekar sayısını da duymuş olabilirsiniz: Karesi alındığında çıkan sayının iki partisyonunun toplamı ilk sayıya tekabül eden pozitif bir sayı.

Bir örnekle daha basitçe açıklayalım:

• 297² = 88,209
• 88 + 209 = 297

Kaprekar sayılarının diÄŸerleri de şöyle sıralanabilir: 9, 45, 55, 99, 703, 999, 2 bin 223, 17 bin 344, 538 bin 461… Siz de bu sayıları tek tek deneyin ve çıkan sonucu görün!

Ancak şu kuralı unutmayın: Karesini aldığınız sayıların partisyonlarını toplarken, partisyonları oluşturmak için basamakları mümkün olduğunca eşit şekilde ayıracaksınız, yani bir basamaklı sayı artı bir basamaklı sayı; iki basamaklı sayı artı iki basamaklı sayı gibi…

Ancak sayının karesini alınca ulaştığınız sonuç eşit basamaklı partisyonlara ayrılmıyorsa, aynen yukarıdaki beş basamaklı 88,209 örneğinde olduğu gibi, o zaman iki basamaklı bir partisyon ile üç basamaklı diğer partisyonu toplarsınız (88+209).

İşte bu yaptığınıza da Kaprekar işlemi adı verilir.

Böylece siz de matematiğin eğlenceli yüzünü görmeye başladınız, değil mi?

Kaynak: BBC Türkçe